Discussion:Fonction caractéristique (probabilités)

Article créé pour remédier à un problème de terminologie. Fonction caractéristique (mathématiques) renvoie à la définition de ce que j'appelle "fonction indicatrice". Convergence de variables aléatoires#Convergence en loi renvoyait à Fonction caractéristique (mathématiques) pour expliquer le Théorème de continuité de Paul Lévy, car l'auteur de l'article Convergence de variables aléatoires#Convergence en loi pensait, comme moi d'ailleurs, que Fonction caractéristique (mathématiques) décrivait effectivement la notion de fonction caractéristique (probabilités) définie dans cet article-ci.--Chassaing 7 septembre 2008 à 02:40 (CEST)

Finalement l'article que je souhaite existe déjà sous le nom de Fonction caractéristique d'une variable aléatoire. Il est d'ailleurs bien écrit et bien plus détaillé que celui-ci (en dehors du rappel de la forme $\ \scriptstyle \mathbb {E} \left[\cos(tX)\right]+i\ \mathbb {E} \left[\sin(tX)\right]$ qui pourrait aider certains débutants, rappel fait ici et pas la bas). A mon avis le titre devrait en être Fonction caractéristique (probabilités) ou bien, beaucoup mieux, Fonction caractéristique (mathématiques). Ce dernier titre ne devrait pas être accaparé par la page sur les fonctions indicatrices, qui sont, d'après mes observations personnelles, bien plus souvent appelées "fonctions indicatrices" que "fonctions caractéristiques". Par ailleurs la notion de fonction caractéristique (au sens des probas) est beaucoup moins creuse que celle de fonction indicatrice, qui est une commodité d'écriture, essentiellement. Les fonctions indicatrices sont les fonctions sur lesquelles on peut définir l'intégrale d'une fonction de la manière la plus élémentaire en théorie de la mesure, et sont clairement importantes à ce moment là, et sont aussi très utilisées en probabilités, mais dans les deux cas elles sont appelées "fonctions indicatrices" plutôt que "fonctions caractéristiques", il me semble. --Chassaing 7 septembre 2008 à 13:49 (CEST)

Cet article que j'ai rédigé peut donc être détruit, à mon avis. Remarque : renseignements pris "Fonction caractéristique" semble être ou avoir été utilisée de manière assez générale par les analystes pour désigner ce que les probabilistes appellent "fonction indicatrice". Certains analystes m'ont confié avoir abandonné la terminologie "Fonction caractéristique" pour la terminologie "fonction indicatrice", qui leur convenait aussi bien, pour éviter le conflit de terminologie avec la "Fonction caractéristique d'une variable aléatoire". Reste à savoir si c'est une attitude générale ou peu répandue.--Chassaing 11 septembre 2008 à 13:21 (CEST)

Terminologie (texte issu de la page fonction caractéristique d'une variable aléatoire)

Cet article n'est pas très accessible sous le nom de Fonction caractéristique d'une variable aléatoire. A mon avis le titre devrait en être Fonction caractéristique (probabilités) ou bien, beaucoup mieux, Fonction caractéristique (mathématiques). Ce dernier titre ne devrait pas être accaparé par la page sur les fonctions indicatrices, qui sont, d'après mes observations personnelles, bien plus souvent appelées "fonctions indicatrices" que "fonctions caractéristiques". Par ailleurs la notion de fonction caractéristique (au sens des probas) est beaucoup moins creuse que celle de fonction indicatrice, qui est une commodité d'écriture, essentiellement. Les fonctions indicatrices sont les fonctions sur lesquelles on peut définir l'intégrale d'une fonction de la manière la plus élémentaire en théorie de la mesure, et sont clairement importantes à ce moment là, et sont aussi très utilisées en probabilités, mais dans les deux cas elles sont appelées "fonctions indicatrices" plutôt que "fonctions caractéristiques", il me semble. Un exemple de confusion résultant de cela se situe dans Convergence de variables aléatoires#Convergence en loi, qui renvoyait à Fonction caractéristique (mathématiques) pour expliquer le Théorème de continuité de Paul Lévy, car l'auteur de l'article Convergence de variables aléatoires#Convergence en loi pensait, comme moi d'ailleurs, que Fonction caractéristique (mathématiques) décrivait effectivement la notion de fonction caractéristique (probabilités) définie dans cet article-ci. --Chassaing 7 septembre 2008 à 13:49 (CEST)

4 ans après, je suis tout à fait d'accord avec le renommage en Fonction caractéristique (probabilités). Puisque les fonction caractéristique existent pour les lois de proba (=mesures de proba) et non pas besoin de variables aléatoires pour être définies. Si il n'y a pas d'opposition, je ferai la demande dans quelques jours. Ipipipourax (d) 8 novembre 2012 à 15:09 (CET)

Fait. Ipipipourax (d) 10 novembre 2012 à 18:37 (CET)

Problème de terminologie ?

Bonjour,

l'auteur de cet article commet à mon sens une erreur lorsqu'il dit que la fonction caractéristique d'une variable aléatoire est la transformée de Fourier de la densité (lorsque la variable aléatoire est une variable à densité bien sûr). En effet, pour pouvoir dire qu'il s'agit de la transformée de Fourier de la densité, il faudrait avoir un signe "moins" devant le terme "i*t*x" dans l'exponentielle... La fonction caractéristique de la variable aléatoire serait plutôt la transformée de Fourier inverse de la densité, non ? Ainsi, si j'applique strictement la définition classique de la transformée de Fourier pour la loi uniforme continue, j'obtiens l'expression suivante: (exp(-i*t*a)-exp(-i*t*b))/((b-a)*i*t) et non la fonction caractéristique qui est (exp(i*t*b)-exp(i*t*a))/((b-a)*i*t). Il y a donc une erreur de terminologie. De plus, l'auteur écrit "à un facteur 2π près suivant la convention": ne serait-ce pas plutôt à un facteur 1/(sqrt(2*pi)) ? Cela paraîtrait plus logique au vu de l'article "Transformation de Fourier", section 1.2 (conventions alternatives). Qu'en pensez-vous ? Ai-je raison ou tort et pourquoi si j'ai tort ?

Bonjour, tu as raison sur toute ces notations. En fait il s'agit de la transformée inverse et la constante n'est pas la bonne. Cependant, les probabilistes font l'abus de langage car il suffit de faire un changement de variables (linéaire) sur la variable t de la fonction caractéristique. Notamment lorsque l'on parle d'une loi a densité symétrique, le moins ne change rien ... Je suggère de faire cette précision : dire que c'est la transformée de Fourier inverse et dire que par beaucoup de probabilistes disent quand même transformée de Fourier. Ipipipourax (discuter) 4 mai 2015 à 15:47 (CEST)

Il vaudrait mieux en effet le préciser, cela éviterait des confusions. Je me disais quand même que c'était bizarre, parce que dans des documents de préparation à l'agrégation de maths, j'avais vu "transformée de Fourier de la densité" pour la fonction caractéristique et dans un site internet, "transformée de Fourier inverse de la densité", il y avait donc une contradiction. Avec la précision, ce sera plus précis et plus clair. Merci de m'avoir répondu.

Concernant le "à un facteur 2π près suivant la convention" il me semble que l'auteur évoque surtout le terme exponentiel. Xiawi (discuter) 7 mai 2015 à 07:03 (CEST)